Шта је Еулерова тотиентна функција?
Ојлерова функција Тотиент је математичка мултипликативна функција која броји позитивне цијеле бројеве до датог цијелог броја који се обично назива 'н', а који је прост број до 'н', а функција се користи за познавање броја простих бројева који постоје до дат цео број 'н'.
Објашњење
Да би се знало колико простих бројева долази до датог целог броја 'н' користи се Оулерова функција тоцијанта. Такође се назива аритметичка функција. За примену или употребу Еулерове функције Тотиент важне су две ствари. Једна је да би гцд формиран од датог целог броја 'н' требао бити мултипликативан једни другима, а друга је да су бројеви гцд-а само примарни бројеви. Цео број 'н' у овом случају требао би бити већи од 1. Из негативног целог броја није могуће израчунати Еулерову функцију тоцијанта. Принцип је, у овом случају, да за ϕ (н) мултипликатори звани м и н требају бити већи од 1. Отуда означени са 1
Историја
Еулер је ову функцију представио 1763. У почетку је Еулер користио грчки π за означавање функције, али због неких проблема његова денотација грчког π није добила признање. И није успео да му да одговарајући нотацијски знак, тј. Φ. Стога се функција не може увести. Даље, ϕ је преузет из Гаусс-ових Дискуиситионес Аритхметицае из 1801. Функција се такође назива и фи функција. Али ЈЈ Силвестер је 1879. године укључио термин тотиент за ову функцију због својстава и употребе функција. Различита правила су уоквирена да би се бавила различитим врстама целих бројева, на пример, ако је цели број п прост број, које правило треба применити итд. Сва правила која је Еулер уоквирила су практична и могу се користити и данас док се бавимо исти.
Особине Еулерове тоцијантске функције
Постоје нека различита својства. Нека од својстава Еулерове тоцијантске функције су као под:
- Φ је симбол који се користи за означавање функције.
- Функција се бави теоријом простих бројева.
- Функција је применљива само у случају позитивних целих бројева.
- За ϕ (н) се могу наћи два мултипликативна проста броја за израчунавање функције.
- Функција је математичка функција и корисна је у много чему.
- Ако је цео број 'н' прост број, онда је гцд (м, н) = 1.
- Функција ради на формули 1 <м <н где су м и н прости бројеви и мултипликативни бројеви.
- Генерално, једначина је
- Функција у основи броји позитивне целе бројеве мање од датог целог броја, што је релативно прости бројеви датог целог броја.
- Ако је дати цео број п прост, онда је ϕ (п) = п - 1
- Ако је снага п проста тада, ако је а = п н проста снага, тада је ϕ (п н ) = п н - п (н-1)
- ϕ (н) није један - један
- ϕ (н) није на.
- ϕ (н), н> 3 је увек парно.
- ϕ (10 н ) = 4 * 10 н-1
Израчунајте Оулерову функцију тоцијанта
Пример # 1
Израчунај ϕ (7)?
Решење:
ϕ (7) = (1,2,3,4,5,6) = 6
Како су сви бројеви прости бројеви 7, стога је олакшало израчунавање ϕ.
Пример # 2
Израчунај ϕ (100)?
Решење:
Како је 100 велики број, стога је дуготрајно израчунавање од 1 до 100 простих бројева који су прости бројеви са 100. Стога примењујемо доњу формулу:
- ϕ (100) = ϕ (м) * ϕ (н) (1- 1 / м) (1 - 1 / н)
- ϕ (100) = 2 2 * 2 5
- ϕ (100) = 2 2 * 2 5 * (1 - 1/2) * (1 - 1/5)
- = 100 * 1/2 * 4/5
- = 40
Пример # 3
Израчунај ϕ (240)?
Вишеструки од 240 су 16 * 5 * 3, тј. 2 4 * 5 * 3
- ϕ (240) = ϕ (м) * ϕ (н) (1- 1 / м) (1 - 1 / н)
- ϕ (240) = 2 4 * 5 * 3
ако н М није прост број, користимо н м - н м-1
- = (2 4 - 2 (4-1) ) * (5 1 - 5 (1-1) ) * (3 1 - 3 (1-1) )
- = (2 4 - 2 3 ) * (5 - 1) * (3 - 1)
- = 64
Пример # 4
Израчунај ϕ (49)?
- ϕ (49) = ϕ (м) * ϕ (н) (1- 1 / м) (1 - 1 / н)
- ϕ (49) = ϕ (7) * ϕ (7)
- = (7 1 - 7 (1-1) ) * (7 1 - 7 (1-1) )
- = (7-1) * (7-1)
- = 6 * 6
- = 36
Апликације
Различите апликације су испод:
- Функција се користи за дефинисање РСА система шифровања који се користи за интернетску безбедносну енкрипцију.
- Користи се у теорији простих бројева.
- Такође се користи у великим прорачунима.
- Користи се у применама елементарне теорије бројева.
Закључак
Ојлерова тоцијантска функција корисна је на много начина. Користи се у РСА систему шифровања, који се користи у безбедносне сврхе. Функција се бави теоријом простих бројева, а корисна је и у прорачуну великих прорачуна. Функција се такође користи у алгебарским прорачунима и основним бројевима. Симбол којим се означава функција је ϕ, а назива се и фи функцијом. Функција се састоји више од теоријске него од практичне употребе. Практична употреба функције је ограничена. Функција се може боље разумети кроз разне практичне примере, а не само кроз теоријска објашњења. Постоје различита правила за израчунавање Еулерове функције тотиента, а за различите бројеве морају се применити различита правила. Функција је први пут представљена 1763. године, али због неких проблема,признање је добило 1784. године, а назив је измењен 1879. Функција је универзална функција и може се применити свуда.
