Дефиниција теорема централне границе
Теорема о централној граници наводи да ће се случајни узорци случајне променљиве популације са било којом расподелом приближити нормалној расподели вероватноће како се величина узорка повећава и претпоставља да ће, како величина узорка у популацији прелази 30, средња вредност узорка чији ће просек свих посматрања за узорак бити б једнак просеку за популацију.
Формула теорема централне границе
Већ смо разговарали о томе да када величина узорка пређе 30, расподела поприма облик нормалне расподеле. За одређивање нормалне расподеле променљиве важно је знати његову средњу вредност и варијансу. Нормална расподела може се навести као
Кс ~ Н (µ, α)
Где
- Н = број запажања
- µ = средња вредност посматрања
- α = стандардна девијација
У већини случајева, запажања не откривају много у сировом облику. Дакле, од виталне је важности да се посматрања стандардизују како би се то могло упоредити. То се ради уз помоћ з-резултата. Потребно је израчунати З-скор за посматрање. Формула за израчунавање з-резултата је
З = (Кс- µ) / α / √н
Где
- З = З-оцена запажања
- µ = средња вредност посматрања
- α = стандардна девијација
- н = величина узорка
Објашњење
Теорема о централној граници каже да ће се случајни узорци променљиве случајне популације са било којом расподелом приближити нормалној расподели вероватноће како се величина узорка повећава. Теорема о централној граници претпоставља да ће, како величина узорка у популацији прелази 30, средња вредност узорка, која ће бити просек свих запажања за узорак, бити приближно једнака просеку за популацију. Такође, стандардна девијација узорка када величина узорка прелази 30 биће једнака стандардној девијацији популације. Како се узорак насумично бира из целе популације, а величина узорка је већа од 30, онда помаже у тестирању хипотеза и конструисању интервала поузданости за тестирање хипотезе.
Примери формуле теореме централног ограничења (са Екцел предлошком)
Пример # 1
Хајде да схватимо концепт нормалне расподеле уз помоћ примера. Просечни принос из узајамног фонда је 12%, а стандардно одступање од средњег поврата за улагање у узајамни фонд је 18%. Ако претпоставимо да је расподела приноса нормално расподељена, тумачимо расподелу приноса улагањем узајамног фонда.
Дато,
- Просечни повраћај инвестиције биће 12%
- Стандардна девијација ће бити 18%
Дакле, да бисмо сазнали поврат за интервал поверења од 95%, то можемо сазнати решавањем једначине као
- Горњи опсег = 12 + 1,96 (18) = 47%
- Доњи опсег = 12 - 1,96 (18) = -23%
Резултат значи да ће у 95% случајева повраћај из узајамног фонда бити у распону од 47% до -23%. У овом примеру, величина узорка, која представља повратак случајног узорка од више од 30 посматрања повратка, пружиће нам резултат за повратак становништва узајамног фонда јер ће се дистрибуција узорка нормално дистрибуирати.
Пример # 2
Настављајући са истим примером, одредимо какав ће бити резултат за интервал поузданости од 90%
Дато,
- Просечни повраћај инвестиције биће 12%
- Стандардна девијација ће бити 18%
Дакле, да бисмо сазнали поврат за интервал поузданости од 90%, можемо га сазнати решавањем једначине као
- Горњи опсег = 12 + 1,65 (18) = 42%
- Доњи опсег = 12 - 1,65 (18) = -18%
Резултат значи да ће повраћај из узајамног фонда у 90% случајева бити у распону од 42% до -18%.
Пример # 3
Настављајући са истим примером, одредимо какав ће бити резултат за интервал поузданости од 99%
Дато,
- Просечни повраћај инвестиције биће 12%
- Стандардна девијација ће бити 18%
Дакле, да бисмо сазнали поврат за интервал поузданости од 90%, можемо га сазнати решавањем једначине као
- Горњи опсег = 12 + 2,58 (18) = 58%
- Доњи опсег = 12 - 2,58 (18) = -34%
Резултат значи да ће повраћај из узајамног фонда у 99% случајева бити у распону од 58% до -34%.
Релевантност и употреба
Теорема о централној граници је изузетно корисна јер омогућава истраживачу да уз помоћ узорка предвиди средњу вредност и стандардну девијацију целе популације. Како је узорак насумично одабран из читаве популације, а величина узорка је већа од 30, тада ће се било која случајна величина узорка узета из популације приближити нормалној дистрибуцији, што ће помоћи у испитивању хипотеза и конструисању интервала поузданости хипотеза тестирање. На основу теореме о централној граници, истраживач може да изабере било који случајни узорак из целе популације, а када је величина узорка већа од 30,тада може предвидети популацију уз помоћ узорка јер ће узорак пратити нормалну расподелу, а такође и као средња вредност и стандардна девијација узорка биће иста као средња вредност и стандардна девијација популације.
