Шта је лог-нормална дистрибуција?
Лог-нормална расподела је континуирана расподела случајних променљивих чији су логаритми нормално распоређени. Другим речима, логнормална расподела се генерише функцијом е к , где би к (случајна променљива) требало да буде нормално распоређена. У природном логаритму е к је к, логаритми логнормално распоређених случајних променљивих су нормално распоређени.
Променљива Кс се нормално дистрибуира ако је И = лн (Кс), где је лн природни логаритам.
- И = е к
- Претпоставимо природни логаритам са обе стране.
- лнИ = лн е к што резултира у лнИ = к
Према томе, можемо рећи, ако је Кс случајна променљива нормална расподела, тада И има логнормалну расподелу.
Формула нормалне расподеле дневника
Формула за функцију густине вероватноће логнормалне расподеле дефинисана је средњом вредности μ и стандардном девијацијом σ, која се означава са:
Параметри лог-нормалне дистрибуције
Лог-нормалну дистрибуцију карактеришу следећа три параметра:
- σ , стандардна девијација дневника расподеле, која се назива и параметром облика. Параметар облика генерално утиче на укупан облик логнормалне расподеле, али не утиче на локацију и висину графикона.
- м , медијана расподеле, позната и као параметар скале.
- Θ , параметар локације који се користи за лоцирање графика на к оси.
Средња и стандардна девијација су два главна параметра логнормалне расподеле и она су експлицитно дефинисана са ова два параметра.
Следећа слика илуструје нормалну дистрибуцију и лог-нормалну дистрибуцију.
Из горње слике могли бисмо уочити следеће карактеристике лог-нормалне дистрибуције.
- Лог-нормалне расподеле су позитивно нагнуте удесно због нижих средњих вредности и веће варијансе случајних променљивих у разматрању.
- Логнормална расподела је увек ограничена одоздо на 0, јер помаже у моделирању цена имовине, за коју се не очекује да носи негативне вредности.
- Логнормална расподела позитивно је искривљена великим бројем малих вредности и укључује неколико главних вредности, што резултира тиме да је средња вредност врло често већа од модуса.
Из горње слике могли смо приметити да је лог-нормална расподела ограничена на 0 и позитивно је искошена удесно, што се могло приметити по њеном дугачком репу удесно. Ова два запажања сматрају се главним својствима логнормалних расподела. У пракси су се логнормалне расподеле показале веома корисне у расподели цена капитала или имовине, док је нормална расподела врло корисна за процену очекиваних приноса на имовину током одређеног временског периода.
Примери лог-нормалне дистрибуције
Слиједи неколико примјера гдје се могу користити лог-нормалне дистрибуције:
- Количина гаса у резерви енергије и нафте.
- Обим производње млека.
- Количина падавина.
- Потенцијални живот производних и индустријских јединица чије шансе за опстанак карактерише стопа стреса.
- Обим периода у којем постоји било која заразна болест.
Примена и употреба лог-нормалне дистрибуције
Следе апликације и употребе лог-нормалне дистрибуције.
- Најчешће коришћена и популарна дистрибуција је нормална дистрибуција, која је нормално распоређена и симетрична и формира криву у облику звона која је моделирала разне природне од једноставних до врло сложених.
- Али постоје случајеви када се нормална дистрибуција суочава са ограничењима када се логнормална дистрибуција може лако применити. Нормална расподела може узети у обзир негативну случајну променљиву, али логнормална расподела предвиђа само позитивне случајне променљиве.
- Једна од различитих примена где се логнормална расподела користи у финансијама где се примењује у анализи цена имовине. Очекивани принос на имовину приказује се у нормалној расподели, али цене имовине приказују се у логнормалној расподели.
- Уз помоћ логнормалне криве расподеле можемо лако израчунати сложену стопу поврата на имовину током одређеног временског периода.
- У случају да смо применили нормалну расподелу за израчунавање цена имовине током одређеног временског периода, постоје могућности добијања поврата мањих од -100%, што накнадно претпоставља цене имовине мање од 0. Али ако користимо логнормалну расподелу за процену једињења стопе поврата током одређеног временског периода, лако можемо отклонити ситуацију добијања негативних приноса јер логнормална дистрибуција узима у обзир само позитивне случајне променљиве.
- Релативна цена је цена средства на крају периода подељена са почетном ценом средства, која је једнака 1 плус повраћај из периода држања. Да бисмо пронашли крај имовине из периода, можемо је добити множењем са релативном ценом помноженом са почетном ценом имовине. Логнормална расподела има само позитивну вредност; стога цена средства на крају периода не може бити испод 0.
Лог-нормална расподела у моделирању цена акција
Лог-нормална расподела коришћена је за моделирање расподеле вероватноће залиха и многих других цена имовине. На пример, приметили смо да се логнормално појављује у моделу одређивања цена опције Блацк-Сцхолес-Мертон, где постоји претпоставка да је цена основне опције имовине истовремено абнормално распоређена.
Закључак
- Нормална расподела је расподела вероватноће, за коју се каже да је асиметрична и звонаста крива. У нормалној расподели, 69% исхода спада у једну стандардну девијацију, а 95% спада у две стандардне девијације.
- Због популарности нормалне дистрибуције, већина људи је упозната са концептом и применом нормалне дистрибуције, али у то време изгледа да нису једнако упознати са концептом логнормалне дистрибуције. Нормална расподела може се претворити у логнормалну расподелу уз помоћ логаритама, што постаје основна основа пошто логнормалне расподеле сматрају једином случајном променљивом која се нормално дистрибуира.
- Логнормалне расподеле могу се користити заједно са нормалном расподелом. Логнормалне расподеле резултат су претпоставке лн, природног логаритма у коме је основа једнака е = 2.718. Поред дате основе, логнормална расподела би се могла извршити и употребом друге основе, што би накнадно утицало на облик логнормалне расподеле.
- Логнормална дистрибуција графички приказује дневник нормално распоређених случајних променљивих из кривих нормалне расподеле. Лн, природни лог је познат е, експонент коме треба подићи базу да би се добила жељена случајна променљива к, која се може наћи на кривој нормалне расподеле.
